La construction des nombres - Histoire et épistémologie

Nombres entiers, nombres rationnels, nombres complexes de Chuquet-Cardan, nombres de Clifford : destiné en priorité aux étudiants des premières années universitaires, cet ouvrage retrace l'itinéraire suivi par la pensée mathématique jusqu'à la fin du dix-neuvième siècle dans la conception et dans la compréhension de la représentation numérique.
En rattachant la démarche mathématique à celle plus générale de la pensée, l'ouvrage va au-delà de la simple narration des faits historiques bruts. Le rôle de la représentation spatiale dans l'élaboration première de la notion de nombre est notamment souligné. D'un point de vue technique, on fait voir que deux méthodes de construction sont employées, qualifiées respectivement de fonctionnelle et d'ensembliste. En considérant le nombre comme une représentation du mouvement, le nombre classique peut être interprété, du point de vue géométrique, comme une similitude. Ces points de vue pourraient contribuer à réactiver le débat philosophique sur la notion de nombre.

SOMMAIRE
CHAPITRE I. Une activité fondatrice des mathématiques : la représentation. I.1 Le défi majeur. I.2 La représentation : une activité fondamentale de l'être vivant. I.3 Le nombre en tant que représentation. I.4 Conséquences de la conception spatiale du nombre
CHAPITRE II. Les nombres naturels. II.1 Aperçu historique. II.2 Construction des entiers naturels par extension. II.3 Premiers commentaires sur cette construction. II.4 Quelques aspects fonctionnels et sémantiques du nombre naturel. II.5 Présence des moyennes pythagoriciennes. II.6 Une classe de problèmes modernes issus de la sémantique géométrique des pythagoriciens. II.7 Autour de la divisibilité
CHAPITRE III. Les nombres entiers. III.1 Faisons le point. III.2 Le poids du symbole dans la représentation. III.3 Construction des entiers par extension fonctionnelle. III.4 Construction des entiers par symétrie. III.5 Les entiers en tant que couples d'entiers naturels. III.6 Commentaire sur la démarche précédente : classer. III.7 Le statut des nombres entiers. III.8 Comparaison des procédés de construction
CHAPITRE IV. Les nombres rationnels. IV.1 Aperçu historique. IV.2 Introduction à la notion de transformation : la multiplication et le point de vue dynamique. IV.3 Construction des rationnels par extension fonctionnelle et ensembliste. IV.4 Représentations numériques des rationnels. IV.5 Diviser… pour (essayer de) régner
CHAPITRE V. Des nombres irrationnels à l'infini. V.1 Définitions numérique et algébrique des nombres irrationnels et réels. V.2 Aperçu historique. V.3 Les nombres et l'infinité mathématique. V.4 Un concept structurel : l'ordre. V.5 Quelques aspects de l'évolution des mathématiques. V.6 Retour à la géométrie
CHAPITRE VI. Intermède
CHAPITRE VII. Les nombres complexes. VII.1 Premiers pas : les nombres étranges de Chuquet-Cardan. VII.2 L'extension de la multiplication et les logarithmes. VII.3 Le rôle joué par la prise en compte des objets en mouvement : la trigonométrie. VII.4 Une controverse utile. VII.5 Quand les fruits finissent par mûrir. VII.6 Les nombres complexes de Chuquet-Cardan : le point de vue algébrique. VII.7 Les représentations géométriques des nombres complexes. VII.8 Interprétations dynamiques des nombres réels et complexes. VII.9 Conclusion
CHAPITRE VIII. Quelques extensions. VIII.1 Généralités. VIII.2 La théorie de Galois et ses prolongements. VIII.3 Généralités sur les travaux de l'école anglaise. VIII.4 Hamilton et la structure des espaces vectoriels. VIII.5 Peut-on multiplier entre eux deux vecteurs ? Produit extérieur, produit vectoriel, produit scalaire, produit tensoriel : les apports de Grassmann. VIII.6 Les quaternions ou nombres de Hamilton. VIII.7 Les octonions. VIII.8 Les ensembles de nombres précédents en tant qu'algèbres. VIII.9 Les algèbres (des nombres) de Clifford
CHAPITRE IX. Conclusion : qu'est-ce qu'un nombre ?
Bibliographie sommaire. Index terminologique. Index des noms propres