Thèmes d'Arithmétiques avec plus de 85 exercices corrigés

L'arithmétique est l'une des branches des mathématiques les plus fascinantes, car elle permet à celui qui l'étudie, professionnel ou amateur, de mettre en avant sa créativité et son imagination pour tenter de résoudre un problème donné, en n'ayant à sa disposition souvent que des outils de base enseignés dans le secondaire. Les problèmes que pose la théorie des nombres sont, au fond, des questions que tout un chacun pourrait se poser lorsqu'il porte son intérêt sur les nombres les plus naturels qui soient : les entiers. Par exemple, il est facile de vérifier que (3, 17, 7) est une solution de l'équation (x2 – 1) (y2 – 1) = (z2 – 1)2 où x < z < y sont entiers. Mais quelles peuvent être toutes les solutions de cette équation ? Cette question, simple à comprendre, reste encore à l'heure actuelle ouverte, c'est-à-dire non résolue.
Le but de cet ouvrage est double : il souhaite tout d'abord épauler chaque lycéen de terminale scientifique, chaque étudiant de faculté de mathématique ou de classe préparatoire, dans son travail et sa recherche de réflexes face à un problème d'arithmétique. D'autre part, ce livre propose d'aller plus loin, et de commencer une réflexion sur certains domaines bien précis. Afin d'atteindre ce double objectif, quelques thèmes d'arithmétique ont été choisis, puis présentés, de façon claire et concise, dans un cours respectant le niveau des étudiants mentionnés ci-dessus, et, pour le lecteur intéressé, un prolongement du cours est ensuite propsé dans une rubrique intitulée Pour en savoir plus, dans laquelle la contrainte habituelle de programmes d'enseignement s'efface au profit d'un développement des thèmes plus axé sur les mathématiques récentes. Pour se familiariser avec les notions exposées, chaque chapitre, sauf le premier, dispose d'exercices, corrigés en fin d'ouvrage. Si certains sont des applications directes du cours, d'autres proposent des sujets parfois méconnus, comme l'utilisation des suites réalisables afin de démontrer le petit théorème de Fermat pour les matrices entières, ou bien les extraordinaires idées d'Erdös mettant en évidence le rôle des petits diviseurs pour une classe particulière de fonctions multiplicatives. À ce titre, ces exercices pourraient trouver leur place dans des leçons d'oral de concours de recrutement de professeurs.
Quel que soit son niveau, le lecteur trouvera dans ce livre de quoi développer son intuition et son inspiration sur des problèmes toujours plus prenants. Finalement, que ce soit en travaillant avec le théorème de Bachet-Bezout, ou bien en s'essayant au problème des entiers sans facteur carré, l'ultime but de ce livre n'est rien d'autre que celui commun à tout enseignement : l'enrichissement personnel, au sens noble du terme.