Cours d'analyse - Agrégation de Mathématiques

Cet ouvrage propose une synthèse des connaissances d'analyse requises par ce concours. Il contient toutes les démonstrations dont la connaissance est indispensable à l'oral, et un résumé des questions spécifiques de l'écrit du concours externe. Le niveau est ici volontairement élémentaire, l'objectif visé étant la mise au point d'un savoir solide immédiatement utilisable, ainsi que l'assimilation de quelques idées fondamentales. Tel quel, ce livre s'adresse d'abord aux candidats à l'agrégation externe, mais aussi aux professeurs en exercice souhaitant préparer l'agrégation interne, les chapitres particuliers au concours externe faisant l'objet d'une étude séparée. Il accompagnera le futur professeur de l'épreuve d'analyse du CAPES à celles de l'Agrégation.

SOMMAIRE
Topologie — 1. Les nombres réels 2. Topologie : généralités 3. Espaces métriques complets 4. Compacité 5. Continuité uniforme, applications uniformément continues, lipschitziennes 6. Applications linéaires continues, normes équivalentes 7. Connexité 8. Théorèmes de point fixe. Fonctions d'une variable réelle — 9. Continuité, dérivabilité, accroissements finis 10. Suites récurrentes réelles 11. Formules de Taylor 12. Fonctions convexes 13. Le théorème de Césaro 14. Comparaison des fonctions. Processus sommatoires — 15. Séries numériques 16. Intégrales généralisées 17. Comparaison série / intégrale. Convergence et approximation dans les espaces de fonctions — 18. Convergence des suites de fonctions 19. Approximation par des polynômes 20. Convolution. Interversion des limites — 21. Fonctions définies par une suite, une série ou par une intégrale 22. Interversion d'une limite et d'une série ou d'une intégrale. Séries entières — 23. Rayon de convergence des séries entières 24. Fonctions définies par une série entière 25. Opérations sur les séries entières, développement en série entière 26. Problèmes au bord du disque de convergence. Analyse hilbertienne — 27. Espaces préhilbertiens, théorème de Riesz 28. Polynômes orthogonaux 29. Séries de Fourier, théorème de Parseval. Fonctions de plusieurs variables — 30. Différentiabilité 31. Différentielles d'ordre supérieur 32. Inversion locale, fonctions implicités 33. Problèmes d'extremum. Équations différentielles — 34. Équations non linéaires ordinaires 35. Équations différentielles linéaires vectorielles 36. Équations différentielles linéaires scalaires. Intégration — 37. Fonctions mesurables, théorèmes de convergence 38. Espaces Lp 39. Le théorème de Fubini. Fonctions analytiques — 40. Fonctions complexes usuelles 41. Fonctions holomorphes ; théorème de Cauchy 42. Prolongement analytique 43. Le théorème des résidus. Analyse numérique — 44. Résolutions approchées des équations f (x) = 0 45. Calculs approchés d'intégrales 46. Approximation de la somme d'une série 47. Résolution approchée d'équations différentielles. Bibliographie. Index